در تابع [math]y = {x^2}[/math] نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] و نقاط [math]\left( {1,1} \right)[/math] ، [math]\left( { – 1,1} \right)[/math] ، [math]\left( {0,0} \right)[/math] و [math]\left( { – 2,4} \right)[/math] داده شده اند. کدام نقطه نزدیکترین نقطه به نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] میباشد و همچنان مشتق دوم تابع دو متحوله [math]{x^2} – {y^2} = 1[/math] را دریابید؟

در تابع [math]y = {x^2}[/math] نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] و نقاط [math]\left( {1,1} \right)[/math] ، [math]\left( { – 1,1} \right)[/math] ، [math]\left( {0,0} \right)[/math] و [math]\left( { – 2,4} \right)[/math] داده شده اند. خواسته شده است که یکی از چهار نقطه فوق نزدیکترین نقطه به نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] میباشد. برای وضاحت بیشتر در گراف ذیل میتوانید تمام نقاط فوق و گراف تابع [math]y = {x^2}[/math] را مشاهده کنید.

گراف تابع با چهار نقطه

از گراف طوری معلوم میشود که نقاط [math]\left( { – 2,4} \right),\left( { – 1,1} \right),\left( {1,1} \right)[/math] از نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] در عین فاصله واقع شده اند و یگانه نقطه که از [math]\left( {0,3} \right)[/math] دورتر میباشد نقطه [math]\left( {0,0} \right)[/math] است. شما اگر از فورمول فاصله بین دو نقطه استفاده کنید و فاصله بین [math]\left( { – 2,4} \right)[/math] و [math]\left( {0,3} \right)[/math] بعداً فاصله بین [math]\left( { – 1,1} \right)[/math] و [math]\left( {0,3} \right)[/math] و بعداً فاصله بین [math]\left( {1,1} \right)[/math] و [math]\left( {0,3} \right)[/math] دریابید دیده میشود که تمام آنها باهم مساوی اند و [math]\sqrt 5 [/math] حاصل میشود. تنها فاصله نقطه [math]\left( {0,0} \right)[/math] از نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] مساوی به 3 حاصل میشود. میتوانید برای دریافت فاصله بین نقاط از فورمول [math]AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} – {y_1}} \right)}^2}} [/math] استفاده کنید. عبارت این سوال باید اصلاح شود و باید گفته شود که کدام نقطه از نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] دورتر میباشد که درینصورت جواب [math]\left( {0,0} \right)[/math] میباشد. برای وضاحت بیشتر اگر نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] را مرکز انتخاب کنیم و یک دایره را رسم کنیم دیده میشود که دایره از هر سه نقطه [math]\left( { – 2,4} \right),\left( { – 1,1} \right),\left( {1,1} \right)[/math] عبور میکند و مفهوم آن این است که هر سه نقطه از نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] فاصله های مساوی دارند.

عبور دایره از سه نقطه پارابول

عبارت سوال باید طور ذیل باشد: کدام نقطه ذیل از نقطه [math]\left( {0,3} \right)[/math] دورتر قرار دارد و جواب آن باید [math]\left( {0,0} \right)[/math] باشد.

سوال بعدی

برای دریافت مشتق دوم تابع دو متحوله [math]{x^2} – {y^2} = 1[/math] در ابتدا باید مشتق اول آنرا دریابیم و برای دریافت مشتق اول آن از رابطه [math]y’ = – \frac{{f’\left( x \right)}}{{f’\left( y \right)}}[/math] استفاده میکنیم طوریکه در ابتدا تابع [math]{x^2} – {y^2} = 1[/math] را به شکل [math]{x^2} – {y^2} – 1 = 0[/math] نوشته می کنیم. یکبار [math]f\left( x \right) = {x^2} – {y^2} – 1[/math] نوشته کرده و مشتق را نظر به x دریافت میکنیم. درینحالت y ثابت میباشد. بار دوم [math]f\left( y \right) = {x^2} – {y^2} – 1[/math] نوشته کرده و مشتق را نظر به y دریافت میکنیم. درینحالت x ثابت میباشد. در اخیر قیمت های [math]f’\left( x \right)[/math] و [math]f’\left( y \right)[/math] را در رابطه [math]y’ = – \frac{{f’\left( x \right)}}{{f’\left( y \right)}}[/math] وضع میکنیم. به این ترتیب مشتق اول دریافت میشود طور ذیل:

x2y2=1x2y21=0
fx=x2y21fx=2x00fx=2x
fy=x2y21fy=02y0fy=2y
y=fxfyy=2x2yy=xy

برای دریافت مشتق دوم باید از [math]y’ = \frac{x}{y}[/math] دوباره مشتق بگیریم اما این بار از رابطه [math]y’ = – \frac{{f’\left( x \right)}}{{f’\left( y \right)}}[/math] استفاده نمیکنیم. برای دریافت مشتق دوم از [math]y’ = \frac{x}{y}[/math] نظر به قضیه [math]\frac{{u’ \times v – v’ \times u}}{{{v^2}}}[/math] باید مشتق گرفته شود. متوجه باشید که در هر قسمت مشتق دوم که [math]{y’}[/math] باشد، بجای آن [math]y’ = \frac{x}{y}[/math] وضع میکنیم بخاطریکه در مشتق اول قبلاً قیمت [math]{y’}[/math] را دریافت کرده بودیم. از مشتق اول مشتق می گیریم تا مشتق دوم دریافت شود.

y=xyy=x×yy×xy2y=1×yxy×xy2y=yx2yy2

طوریکه دیده میشود [math]{x’}[/math] مساوی به 1 وضع شده است بخاطریکه مشتق x مساوی به یک است اما [math]{y’}[/math] یک وضع نشده است. قیمت [math]{y’}[/math] را در مشتق اول دریافت کرده بودیم که [math]y’ = \frac{x}{y}[/math] بود و در مشتق دوم [math]y’ = \frac{x}{y}[/math] وضع شده است. حالا اگر عملیه غیرواجب را انجام دهیم مشتق دوم را که قبلاً [math]y” = \frac{{y – \frac{{{x^2}}}{y}}}{{{y^2}}}[/math] دریافت کرده بودیم بعد از اجرای عملیه غیرواجب به [math]y” = \frac{{\frac{{{y^2} – {x^2}}}{y}}}{{{y^2}}}[/math] تبدیل میشود و اگر کسرالکسر را ساده سازیم [math]y” = \frac{{{y^2} – {x^2}}}{{{y^3}}}[/math] حاصل میشود. اگر در جوابات داده شده [math]y” = \frac{{{y^2} – {x^2}}}{{{y^3}}}[/math] موجود نباشد میتوانیم آنرا طور ذیل ساده سازیم. در صورت جاهای حدود را باهم تبدیل میکنیم که [math]y” = \frac{{ – {x^2} + {y^2}}}{{{y^3}}}[/math] حاصل میشود. منفی را مشترک می گیریم که [math]y” = \frac{{ – \left( {{x^2} – {y^2}} \right)}}{{{y^3}}}[/math] حاصل میشود. حالا در ابتدای سوال [math]{x^2} – {y^2} = 1[/math] داشتیم اگر بجای [math]{x^2} – {y^2}[/math] در [math]y” = \frac{{ – \left( {{x^2} – {y^2}} \right)}}{{{y^3}}}[/math] عدد 1 را وضع کنیم [math]y” = \frac{{ – 1}}{{{y^3}}}[/math] ویا [math]y” = – \frac{1}{{{y^3}}}[/math] حاصل میشود.

مطالب مشابه

1 Comment. Leave new

یک دنیا سپاس استاد عزیز
پاسخ دادن

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Fill out this field
Fill out this field
لطفاً یک نشانی ایمیل معتبر بنویسید.

فهرست